二次型基本概念

对于二次齐多项式:
$f(x1,x2,x3,…,xn)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_3+…+2a_{1n}x_1x_n+…+…+a_{nn}x_n^2$
可以写成矩阵形式：
$\left[\begin{array}{c}x_1&x_2&…x_n\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}&…a_{1n} \\
a_{21}&a_{22}&…a_{2n} \\
a_{n1}&a_{n2}&…a_{nn}\end{array}\right]
\left[\begin{array}{}x_1 \\
x_2 \\
… \\
x_n\end{array}\right]=x^TAx$

一些要点

标准型与规范型
标准型：没有混合项 规范型：平方项系数只有1，-1, 0
若存在可逆矩阵C使得C^TAC=B,则称A与B合同
二次型化为标准型后得到的$\Lambda$与A合同并且其对角线的值是A的特征值

变换二次型为标准型的方法

配方法与正交法

正交法
  1. 写出二次型矩阵A
  2. 求出A的特征值
  3. 求出对应特征向量
  4. 将特征向量正交化，组合到一起即可得到正交矩阵Q $x=Qy$

正定二次型

3个重要的充要条件：

  1. 正惯性指数$p=n$
  2. 特征值都大于0
  3. 全部顺序主子式大于

必要条件：A的行列式|A|>0,所有主对角线元素大于0

考研复习的进度有点慢，自己要抓紧了
实习生活还挺舒服的，之前学的前端开发知识有了用武之地
千里之行始于这一篇blog，哈哈哈